§1.2 相对坐标系中的一些转换关系式

 一、   旋度的转换关系式

在绝对坐标系和相对坐标系中的旋度表达式是不同的，设绝对坐标系中的旋度为，相对坐标系中为，则根据旋度的定义并结合式（1-2)可得

式中

代入上式，则有 

（1-10）

可见，在绝对运动中的旋度等于相对运动中的旋度加上矢量的两倍。如果绝对运动中的等于零，即若绝对运动中为无旋运动，则相对运动中仍为有旋运动，其旋度为

就离心泵的叶轮而言，若进入叶轮的理想流体是无旋的，则在叶轮中的液流的绝对运动也应该是无旋的（根据汤姆逊定理）。但是，即使绝対运动无旋，相对运动却是有旋的， 这也就是所谓轴向涡流之所以形成的根据。

二、相对坐标系的伯努利方程

由式（1-9)可知，绝对坐标系中的矢量的质点导数等于相对运动中矢量的质点导数加上与该矢量的矢性积。今设绝对速度为该矢量，则由式（1-2）可知，该绝对速度可转换为相对运动中的,于是由式（1-9)可得： 

（1-11）                                                                    

式中。

由此可知，绝对加速度等于相对加速度、哥氏加速度和向心加速度三者之和，这将在后文中作进一步的说明。

由此可得相对运动表示的运动方程为

（1-12）

式中为在绝对坐标系中的质量力，在只有重力场的情况下，其值为

式（1-12)等式右端第一项在相对运动为定常流时等于零。第二项为

式中

其中

即

或第二项成为

式（1-12)中的第四项为

以上诸表达式代人式（1-12)，即得

当理想流体的绝对速度为无旋运动时，▽×= 0,则有

上式是在ω=常数，且相对运动为定常的情况下得到的。由此可知，在相对运动中，流体的任意点均满足：

这就是相对坐标系的伯努利方程式，该式只有在理想流体绝对速度为无旋流时才是正确的。

由此可知，在离心泵叶轮中，当作为理想流体考虑时，旋涡是不会自行产生的。

要指出的是，如果▽×不等于零，则伯努利方程仍具有与式（1 -13)相同的形式，但是只能适用于流线。

由于ω²-u²—c²-2c_au，所以式（1-13)也可写成：

要注意的是，上式仍是相对坐标系的伯努利方程，只是用绝对速度的数值来表示而已，不要与绝对坐标系中的相混淆。显然，对相对坐标的观察者而言，由于作用在液体上的哥氏力与相对速度相垂直，所以并不作功，而在绝对坐标系中则是作功的，为此，上述两种坐标系中的伯努利方程相减，即得叶轮中任意点处对液流的作功为uc_θ。这就是叶轮对液流作功的基本方程式的依据，在后文中将进一步进行说明。

三、圆柱坐标绝对运动的运动方程式和连续性方程式

在圆柱坐标系中，任意点M均可用三个参数r、θ、z来表示其空间位置。该点的速度也可分解成三个分量，即c_r、c_θ和c_z，其中c_θ位于垂直于z轴的平面内，且与半径r相垂直（图1-2)。

直角坐标系中的加速度是众所周知的，所以可由此出发导出圆柱坐标系中绝对运动的加速度s 直角坐标系和圆柱坐标系之间的关系如图1-2所示，由图可知：

  （1-14）

在两个坐标系中，z坐标是相同的，所以转换只要对两个坐标进行就可以了。换句话说，实际上是平面极坐标的变换问题。

由式（1-14)可得：

  （1-15）

由矢量代数可知，任一矢量在指定方向上的投影等于它的分量在该方向投影的代数和，即

其中α、β和γ为x、y和z与的夹角。联系图1-2可知：

式中c是c_x和c_y的合速，和是r和θ方向的单位矢量。把式（1-15)代入上式，经过简单的代数运算，可得

   （1-16）

把式（1-15)对时间求导，就可求得各分加速度：

（1-17）

两种坐标系中的加速度分量之间有类似速度之间的关系：

把式（1-17)代入上式，经整理后可得

由此可知，在圆柱坐标系中，径向加速度a_r并不等于dc_r/dt,而要附加一项（-c_u²/r）。这是因为在半径r处的质点以速度C_u作旋转运动，使c_r的方向偏转一个角度，从而引起附加的向 心加速度之故。显然，在直角坐标系中则不会 产生这种现象。

为求得圆柱坐标系中绝对运动的运动方程 式，可在圆柱坐标系中取一液体微元体abcde- fgh,其体积为rdθdrdz，如图1-3所示。

设作用在a点的压强为p，则由于压强的大小与方位无关，且a点所在三个面的面积均很微小，所以可以认为该三个面积上的压强均等于p，其方向如图所示。于是，在相应的另三个面积上的压强分别为

adef面积上为：    

cdeh面轵上为：

efgh面积上为：

这样，作用在上述三对应面积上的压力的合力分别为：

r方向：

θ方向：

z方向：

设所取微元圆柱体的密度为φ，作用在微元体单位质量上的质量力为，它在r、θ、z 三个方向的投影分别为F_r、F_θ和F_z，于是可列出三个方向的运动方程：

经整理后可得：

   （1-19）

在绝对运动中，作用在流体上的质量力只有重力，而在离心泵中，由于液流的运动范围小，重力的影响往往可以略去不计。于是式（1-19)可写成：

由图1-3还可导出圆柱坐标下绝对运动的连续性方程式，设液流流经图示的微小空间 abcdefgh, a点处的分速分别为c_r、c_θ和c_z。显然，微小空间内液流质量在单位时间内的减少量为：

 （1-20）

这是由于单位时间内流出此微小空间的液流质量大于流入质量之故。

此外，流出微小空间三对对应面积的质量分别为：

γ方向：

同理有

θ方向：

z方向：

为此，流出微小空间的液流质量与流入质量之差为

（1-21）

式（1-21)应与式（1-20)相等，经整理后得连续性方程式为

 （1-22）

因为φ=φ(r，φ，z，t)，所以

将式（1-22)展开，并把上式代人，即得

 （1-23）

四、圆柱坐标相对运动的运动方程式和连续性方程式

在以等角速度ω旋转的相对坐标系（r，φ，z）中，也可得出相应的速度和加速度的表达式，即

  （1-24）

和

  （1-25）

现在来求绝对运动和相对运动之间的速度和加速度所应满足的关系。由式（1-4）经求导后可得

 （1-26）

于是由式（1-18)、式（1-25)和式（1-26)可得各加速度之间的关系为

  （1-27）

上述诸式可用矢量表示成式（1-11):

这与由式（1-9)得到的式（1-11)是完全一致的。上式等号左端是绝对加速度，右端三项依次是相对加速度、向心加速度和哥氏加速度。当ω=0时，后面两项等于零，所以后两项反映了旋转的影响。式（1-11)和式（1-27)只说明用相对运动速度来表示绝对运动，所以讨论的仍是绝对坐标系。该式表明，对于绝对观察者来说，所观察到的液流质点加速度可看成是相对加速度、向心加速度和哥氏加速度这三部分之和。另一方面，从绝对观察者而言， 也等于周围液流对所研究的单位质量液体的作用力。该力为下列三种力的合力，即使单位质量液体产生相对加速度的力，使单位质量液体产生哥氏加速度的力，以及使单位质量液体产生向心加速度的力。

由此可写出相对运动的运动方程式如下：

  （1-28）

上式也可由转换关系式（1-11),表示成式（1-12)的矢量形式。显然，在绝对坐标系中，质量力只有重力，而在相对坐标系中，质量力除重力外，尚有径向的2w_φω+ω²r和周向的-2ωw_r。

类似于式（1-22),相对运动下的连续性方程可写为

 （1-29）

在不可压缩、定常流动的情况下，上式可写为

   （1-30）