§1.3 关于基本方程式的讨论

 众所周知，离心泵的基本方程式为

 （1-31）

这是在叶轮以等角速度ω旋转时对单位质量液流所作的功。前已指出，在绝对坐标系中，叶轮中的流动是非定常的。如果作出无限多叶片的假定，则这种物理模型一方面在物理上具有固体叶片的概念，另一方面在数学上又避免了处理边界条件的困难。此外，在此假定下，绝对运动也成为定常流动。

如果从相对坐标来考虑，即便在有限叶片数情况下，叶轮内的流动也可认为是定常的。但是，在绝对运动中，质量力只有重力，而在相对运动中，质量力除重力外，还有离心力和哥氏力，而在离心泵叶轮中，要求出哥氏力的方向必须先求出相对速度，从而必须先求出流场分布。

为此，我们仍从绝对坐标系来进行研究。此时，叶轮中的流动虽然是非定常的，但是从物理上看，整个控制体中的液流关于z轴的合动量矩却是不随时间而变化的。因此，关于动量矩随时间而变化的项就可以略去。

现在来讨论叶轮以等角速度ω旋转时所作的功。在有限叶片数下，基本方程式通过余弦定律u²-c²+u²-2uc_u可以改写为

 （1-32）

有些参考书把式中第一项说成是离心力所作的功，把第二项说成是流道扩张所获得的功，这是不妥当的，我们在《泵与风机》教材中已经指出。事实上，无论是静止扩散流道还是旋转扩散流道本身都不可能获得能量。同样，第一项也不能理解为离心力所作的功，因为u₂和u₁都是叶轮外径和内径处叶片的圆周速度，而液流质点的周向绝对分速c_u2和c_u1都分别小于u₂和u₁。

要讨论所作的功时，必须说明该功是对哪个坐标系而言的，否则就易于导致概念上的混淆。前面已经指出，在绝对坐标系中，绝对观察者所观察到的作用在液流质点上的力有使质点产生相对加速度的力，有使质点产生哥氏加速度的力，以及使质点产生向心加速度的力，液流质点均指单位质量。今分别讨论以上三种力所作轮周方向的功。

1.产生相对加速度的力所作的功

产生相对加速度的力所作的功，其功率应等于该力与圆周速度的点积，即

 （1-33）

式中,因为du/dt指的是相对坐标系下u对时间的变化率，所以在指定半径上的圆周速度在等角速度下不随时间而变化。式（1-33)说明相对加速度的力所作的功，其功率等于相对动量矩变化率的功率。

2.产生哥氏加速度的力所作的功

产生哥氏加速度的力所作的功，其功率可以表示为

根据矢量代数中的运算方法，上式可写成

 （1-34）

这说明产生哥氏加速度的力所作的功，其功率等于圆周速度的变化率。

3.产生向心加速度的力所作的功

因为向心加速度的力通过轴心，所以该力不作功。事实上，产生向心加速度的力所作的功，其功率可以写为

   （1-35）

这是因为的方向与的方向相垂直，所以其点积等于零。

由以上分析可知，在绝对系统中，产生向心加速度的力不作功，作功的只有产生相对 加速度的力和产生哥氏加速度的力。而产生相对加速度的力所作的功，其功率为相对动量矩变化率的功率，所以叶轮以等角速度ω旋转时所获得的功率应该等于相对动量矩变化率的功率和产生哥氏加速度的力所作功的功率之和，即

 （1-36）

式中利用了关系式ω_φ=c_u-u。

如果利用速度三角形，则有C²-ω²-u²=2ω_φu，代入上式后可得叶轮周向的功率为

 （1-37）

式(1-37)说明，项并不是如通常某些书藉中所说的那样为离心力所作功的功率，而是产生哥氏加速度的力所作功的功率，其中还包括一部分相对动量矩变化率所起的作用，如果讨论的是相对坐标系，则应从流体微元体上的作用力出发来加以讨论。此时的牛顿第二定律可写为

 （a）

其中的惯性力有离心力和哥氏力，同时还应考虑到表面力。哥氏力由于始终与相对速度相垂直，所以永远不会作功，即

而离心力所作功的功率为：

 （b）

在不计粘性的前提下，作用在微元体上的表面力为压力，设微元体的作用面积为A，微元体的长度为ds,则压力p所作功的功率为：

根据连续性方程

可得

但因

所以有

由此可将压力所作功的功率写成

式中δ_m=φAds，并利用了展开式。

因此，对单位质量微元体压力所作功的功率为

（c）

单位质量流体相对运动动能的变化率为

（d）

式（b)、（c)、（d)分别表示式（a)中各项与的点积，由此得

由此可见，在相对运动情况下，当流动为定常流动时，可得

或

这就是相对运动的伯努利方程式。

必须指出，在相对坐标系中是观察不到叶轮周向的功率传递的。离心力作功并不说明叶轮在其周向作功，这在§1.2二中已经进行了阐述。

由以上的讨论可知，在绝对坐标系中只出现与相对加速度、哥氏加速度和向心加速度等相应的力，而在相对坐标系中则只出现作为惯性力的离心力和哥氏力。显然，在不同的坐标系上讨论叶轮的周向功率时，必须从各该坐标系上出现的力出发才有意义。