第四节 动量矩方程和基本方程式
§1.4 动量矩方程和基本方程式
为了更好地对上述分析有进一步的理解，现在再从动量矩方程出发来讨论基本方程式。
设有被封闭曲面s所包围的体积为r的液流，在此控制体内，其动量为
设作用在该控制体上的表面力和质量力分别为
和
，则动量方程可表示为
（1-38）
式中 
——绝对速度；
——ds表面上的力，沿内法线方向；
——质量力。
根据质量守恒定律，
,所以式（1-38)中的
（1-39）
根据高斯定理，有
式中cn为控制面法线方向上的流速，于是动量方程式（1-38)可写为
（1-40）
在定常流动的前提下，采用动量方程的优点在于，在取得控制体后，不需要知道控制体内流体的流动状态和压强分布，而只需知道叶轮进口前和叶轮出口后控制面上的边界情况即可。
动量方程和下面要讨论的动量矩方程对绝对坐标系和相对坐标系均可应用，但在绝对坐标系中的质量力只有重力，而在相对坐标系中则除了重力外，还有离心力和哥氏力。
上文栺出，在相对坐标系中的现察者是观察不到叶轮周向的功率传递的，所以只能在绝对坐标系中来讨论动量方程和动量矩方程。但是，在用绝对坐标系进行分析时，叶轮中的流动是非定常流动，所以式（1-40)中等号左端的第一项并不能删去，在《泵与风机》教材中，通常都在讨论时加上一个“在定常流动中”的前提，而讨论又是从绝对坐标系出发的，所以应该说这种前提是不严格的。这在物理概念上是不能混淆的，可是，正如上节所述，显然绝对运动是非定常的，但就整个控制体中的液流而言，其相对于z轴的合动量矩是不随时间而变化的。所以，在讨论动量矩方程时才可不予考虑由式（1-40)中的
项所引起的动量矩变化。
现在讨论动量矩方程。
动量矩方程可由式（1-40)写成：
（1-41）
式中
为从原点到微元控制体dr的矢径。
根据式（1-38)，式（1-41)也可写成
（1-42）
现在利用式（1-11)将上式改写成相对运动的形式：
（1-43）
这里必须指出，上述讨论过程是把控制体r看成是以等角速度ω旋转的非惯性控制体。在该瞬时，与之相重合的空间则为绝对控制体，从而建立绝对控制体下的动量矩方程，然后再把该动量矩方程转换为相对控制体。
此外，由于绝对运动是非定常的，所以在叶轮进出口前后的绝对速度也是非定常的。严格说来，在叶轮外任一位置处的绝对速度都应是非定常的，这是受到叶轮中叶片干扰的结果。因此，只有在远离叶轮的无穷远处，绝对速度才不受叶片的干扰。在讨论叶轮前后的流动时，事实上往往做不到这一点，而且也没有必要，所以通常认为在距叶轮出口之后的一定距离处，就不受叶片干扰的影响。
由式（1-43)可导出基本方程式，为此，设式中各值为
设在离心泵叶轮中取微元液流dG,其进、出口处的相对速度分别为w1和w2。叶轮进口控制面为F1，出口控制面为F2，叶轮以等角速度ω绕z轴旋转（图1-4)。
今分别讨论上述各量，其中
此处
。按离心泵教材中的习惯写法：wφ=wu，wn=wr，则
（1-44）
式中 ρwrdf——通过微小面积df的液体质量流量，等于dG/g；
—通过叶轮的总的质量流量，等于G/g。
今引人平均速度矩的概念，即
于是，动矩量变化率Mτ可写成
（1-45）
其中符号由速度wr和面积外法线方向的关系而定，流出叶轮时，wr和面积外法线同向，符号为正；流入叶轮时，wr和面积外法线方向相反，符号为负。
质量力
指的是重力，该质量力是可以忽略的，事实上，它对动量矩的变化率作用不大，故有
（1-46）
产生向心加速度的力所引起的动量矩变化率Mk为：
（1-47）
事实上，产生向心加速度的力因通过轴心，所以对动量矩的变化率并无贡献。
产生哥氏加速度的力引起的外力矩Mi为
其中 dr=dfdr。因为
，于是
（1-48）
将式（1-45)式（1-46）、式（1-47)和式（1-48)代人式（1-43)，可得
上式中由于
所以上式左端可写为
于是有
（1-49）
现在来分析最后一个积分项，即表面力的外力矩
根据所取的控制面，表面力包括作用在叶轮内表面和叶片表面Fi上的表面力以及半径分别为r1和r2的内、外控制圆柱表面F1和F2上的表面力p1和p2，见图1-4 。设叶轮内表面和叶片表面上的表面力pn所形成的外力矩为M，圆柱表面上的表面力p1和p2所形成的外力矩为Mf1和Mf2。
需要说明的是，作用在圆柱控制面F1和F2上的表面力
可以分解为法向力和切向 力。其中法向力因穿过旋转轴线而不产生力矩，切向力则就是液流之间的内摩擦力，因此， Mf1和Mf2实际上即为F1和F2表面上切向力所形成的摩擦力矩。由于摩擦力矩的方向与叶 轮对液流所作用的外力矩方向相反，所以应为负值。于是有
代人式（1-49),即得
事实上，与M相比，Mf1和Mf2都很小，可以忽略不计，因此有
上式各项分别乘以旋转角速度ω，则
由此可得离心泵叶轮的理论扬程为
（1-50）
这一结论与离心泵有关书籍中的结论是相同的，但讨论的出发点并不完全相同。从以上的分析明确表明，叶轮作用于液流的外力矩是改变相对动量矩的功率和哥氏力所作功的功率之和，这一点与上一节中的分析是一致的。
